Metode Pohon dalam Logika Matematika

Salam semuanya!

Kali ini, saya akan menulis tentang salah satu metode yang terdapat dalam pembelajaran logika matematika, yakni metode pohon. Dalam tulisan ini, saya akan mencoba menjelaskan pengertian berikut contoh penggunaan metode pohon. Sebagai level pengetahuan teknis dari tulisan ini, saya mengasumsikan pembaca telah familiar dan paham dengan konsep dasar dalam logika matematika seperti preposisi berikut dengan memodelkan kalimat dalam bentuk preposisi, preposisi berperangkai, kesetaraan antar dua preposisi, tautologi dan kontradiksi. Kalau semua sudah ok, maka kita bisa mulai dengan mengetahui apa itu metode pohon dalam logika matematika.

Metode pohon adalah salah satu cara untuk menentukan sah atau tidaknya suatu argumen dalam logika matematika.

Lantas, pertanyaan natural yang akan muncul selanjutnya tentu saja ada hubungannya dengan ‘argumen’ dan ‘kapan argumen dikatakan sah’.

Argumen dalam logika matematika adalah preposisi dalam bentuk:

p_1 \wedge p_2 \dots \wedge p_n \rightarrow q

Selanjutnya, p_1, p_2, \dots p_n dinamakan premis dan q dinamakan simpulan.

Sebagai informasi, setiap premis diperbolehkan berupa preposisi berperangkai. Contoh dari sebuah argumen adalah sebagai berikut:

p_1 \wedge p_2 \rightarrow q

dengan

p_1 : \text{Jika Andi belajar maka ia akan lulus ujian}  (a \rightarrow b)

p_2 : \text{Andi belajar}  (a)

q : \text{Ia lulus ujian}  (b)

maka argumen dapat dituliskan sebagai berikut

\left[(a \rightarrow b) \wedge a \right] \rightarrow b

Selanjutnya, argumen perlu dicek kebenarannya. Kapan suatu argumen dikatakan sah/benar?

Argumen dikatakan sah apabila nilai kebenarannya selalu 1 (tautologi).

Semua setting telah diberikan, maka kita siap untuk mengetahui algoritme metode pohon.

  1. Mulai dengan negasi simpulan, jadikan sebagai ‘akar’ dari pohon
  2. Ubah semua premis dalam bentuk preposisi yang hanya memuat perangkai \wedge dan \vee
  3. Pilih satu per satu premis yang tersedia, rangkaikan dengan pohon dengan aturan: perangkai \wedge akan memanjangkan/meneruskan cabang yang telah ada, sedangkan perangkai \vee akan membuat cabang baru dari cabang yang sebelumnya. Rangkaikan premis baru dengan seluruh cabang terbuka yang masih tersedia (untuk merangkaikan antar premis, ingat bahwa perangkai antar premis adalah \wedge)
  4. Sembari merangkai pohon pada langkah 3, tutup cabang (biasanya dengan memberi tanda silang) pada cabang yang jika dirunut sampai pada akar pohon, terdapat dua preposisi yang identik dengan berkebalikan tanda (misalnya p dan \neg p).
  5. Ulangi langkah 3 dan 4, hingga semua premis telah dirangkaikan dalam pohon.
  6. Argumen dikatakan sah/benar saat seluruh cabang pada pohon terakhir tertutup.

Nah, dalam kasus argumen kita tadi, kita perlu mengubah p_1 dalam bentuk yang hanya memuat perangkai \wedge dan \vee. Yakni p_1 = a \rightarrow b \equiv \neg a \vee b. Dengan melakukan metode pohon, maka kita akan mendapatkan pohon sebagai berikut:

1

Pohon di atas terbentuk dengan mengambil p_1 sebagai rangkaian pertama setelah negasi simpulan q=\neg b dan p_2 setelahnya.

Dapat kita lihat bahwa semua cabang pohon tertutup, sehingga argumen dikatakan sah.

***

Mengapa Metode Pohon Benar?

Sebagai matematikawan, kita tidak seharusnya puas hanya dengan mengetahui suatu metode. Melainkan, kita harus mengetahui pula mengapa suatu metode itu benar/demikian adanya.

Dalam hal metode pohon, pertanyaan yang dapat diajukan adalah “mengapa metode pohon dimulai dengan negasi simpulan, dan argumen sah jika seluruh cabang memiliki dua preposisi identik yang berkebalikan tanda?”.

Jawabannya adalah karena secara konsep, metode pohon ingin membuktikan bahwa negasi dari argumen yang diberikan bernilai salah. Sehingga, yang benar adalah negasinya (dari negasi argumen), yakni tidak lain adalah argumen semula.

Bagaimana metode pohon melakukan pembuktian tersebut? Caranya dapat kita lihat dari kriteria penutupan cabang. Suatu cabang ditutup ketika dalam runutan cabang tersebut hingga ke akar pohon, terdapat dua preposisi identik berkebalikan tanda. Nah, perlu diingat pula bahwa runutan cabang berarti perangkai antar preposisinya adalah perangkai \wedge alias “dan”. Di sisi lain, kita juga tau bahwa preposisi \wedge bersifat komutatif dan jika dua preposisi identik yang berkebalikan tanda dirangkai dengan \wedge, maka akan dihasilkan kontradiksi. Sehingga saat kita menutup cabang, itu tidak lain juga berarti bahwa kita telah membuktikan satu runutan cabang bernilai salah / kontradiksi.

Nah, jika seluruh runutan cabang tertutup, artinya seluruh konstruksi preposisi bernilai salah. Dan kita telah membuktikan bahwa kebalikan dari konstruksi preposisi dalam pohon tersebut, yakni argumen awal kita-lah yang bernilai benar.

Berikut adalah ilustrasi dari contoh argumen kita, coba lihat runutan cabang sebelah kiri dari pohon kita di atas.

\neg b \wedge \neg a \wedge a \equiv \neg b \wedge o \equiv o

***

Keunggulan Metode Pohon 

Nah, setelah kita memahami konsep dan metodologi metode pohon, mari kita ketahui keunggulan metode ini dibandingkan dengan metode-metode pengecekan kesahan argumen lainnya.

Kelebihan metode pohon yakni sangat powerful dan mudah digunakan pada kasus argumen yang simpulannya tidak terlalu intuitif. Contohnya adalah argumen berikut:

p_1 : \text{Tidak ada bercak darah atau korban dibunuh dengan senjata} \\ \text{tajam} (\neg a \vee b)

p_2 : \text{Jika tidak ada bercak darah atau tidak ada bekas lebam maka korban } \\ \text{dibunuh dengan benda tumpul} ( (\neg a \vee \neg c) \rightarrow d \equiv (a \wedge c) \vee d)

p_3 : \text{Korban tidak dibunuh dengan benda tumpul} (\neg d)

q : \text{Korban dibunuh dengan senjata tajam} (b)

Maka dengan metode pohon, dan mengambil urutan premis untuk dirangkai yaitu p_3, p_1, p_2 maka diperoleh pohon sebagai berikut:

2

Dari pohon di atas, dapat diketahui bahwa argumen tersebut sah.

***

Demikian sedikit ulasan tentang metode pohon dalam logika matematika. Salah satu metode untuk mengecek kebenaran suatu argumen matematika. Semoga bermanfaat.

 

Iklan

About pararawendy

Once A Dreamer, Always Be The One Lihat semua pos milik pararawendy

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: